Función de distribución acumulada (FDA)

La función de distribución acumulada (FDA) es una herramienta fundamental en probabilidad y estadística que nos permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un determinado valor.

¿Qué es la FDA?

La FDA, también conocida como función de distribución acumulada, es una función que asigna a cada valor posible de una variable aleatoria X la probabilidad de que X sea menor o igual a ese valor. Se denota por F(x) y se define como:

F(x) = P(X ≤ x)

Es decir, F(x) nos indica la probabilidad acumulada de todos los valores de X que son menores o iguales a x.

¿Para qué sirve la FDA?

  • Cálculo de probabilidades: Nos permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria se encuentre dentro de un intervalo. Por ejemplo, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).
  • Comparación de distribuciones: Permite comparar diferentes distribuciones de probabilidad.
  • Generación de números aleatorios: Se utiliza en simulación para generar números aleatorios que sigan una determinada distribución.
  • Inferencia estadística: Es una herramienta fundamental en muchos procedimientos de inferencia estadística.

Características de la FDA

  • Monótona no decreciente: A medida que x aumenta, F(x) también aumenta o permanece constante.
  • Límites: 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x.
  • Límites en el infinito: F(-∞) = 0 y F(∞) = 1.

Ejemplo

Imagina que tenemos una variable aleatoria X que representa el número de caras obtenidas al lanzar dos monedas. La distribución de probabilidad de X es la siguiente:

XP(X)
01/4
11/2
21/4

La FDA de X sería:

xF(x) = P(X ≤ x)
x < 00
0 ≤ x < 11/4
1 ≤ x < 23/4
x ≥ 21

Por ejemplo, F(1.5) = P(X ≤ 1.5) = 3/4, lo que significa que la probabilidad de obtener a lo sumo una cara es de 3/4.

FDA para variables discretas y continuas

  • Variables discretas: La FDA es una función escalonada, ya que aumenta en saltos en los valores que puede tomar la variable aleatoria.
  • Variables continuas: La FDA es una función continua y no decreciente.

En resumen, la función de distribución acumulada es una herramienta muy útil para describir y analizar el comportamiento de las variables aleatorias. Nos permite calcular probabilidades de manera sencilla y eficiente, y es fundamental en muchos campos de la estadística y la probabilidad.

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