Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Varianza y Desviación Estándar: Medidas de Dispersión

Si el valor esperado nos indica el centro de una distribución de probabilidad, la varianza y la desviación estándar nos ayudan a entender qué tan dispersos están los datos alrededor de ese centro. Es decir, nos dan una idea de cuán variables o diferentes son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria.

Varianza (Var(X))

La varianza es una medida de la dispersión de los valores de una variable aleatoria respecto a su media (valor esperado). Cuanto mayor sea la varianza, mayor será la dispersión de los datos.

Fórmula:

Si X es una variable aleatoria discreta con valores x₁, x₂, x₃, ..., y probabilidades respectivas p₁, p₂, p₃, ..., entonces la varianza de X se calcula como:

Var(X) = E[(X - μ)²] = Σ(xᵢ - μ)² * pᵢ

donde:

  • μ es el valor esperado de X (E(X))
  • Σ representa la suma de todos los posibles valores de X

Desviación Estándar (σ)

La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa con la letra griega sigma (σ).

σ = √Var(X)

La desviación estándar tiene la ventaja de estar en las mismas unidades que la variable aleatoria original, lo que facilita su interpretación.

Berenson, 2006


Interpretación:

  • Varianza y desviación estándar altas: Indican que los valores de la variable aleatoria están muy dispersos alrededor de la media.
  • Varianza y desviación estándar bajas: Indican que los valores de la variable aleatoria están muy concentrados alrededor de la media.

Ejemplo:

Consideremos nuevamente el ejemplo del lanzamiento de tres monedas. Calculemos la varianza y la desviación estándar.

X (número de caras)P(X)X*P(X)(X-μ)²(X-μ)²*P(X)
01/802.250.28125
13/83/80.250.09375
23/86/80.250.09375
31/83/82.250.28125

Ya habíamos calculado que el valor esperado (μ) era 1.5.

  • Varianza: Var(X) = 0.28125 + 0.09375 + 0.09375 + 0.28125 = 0.75
  • Desviación estándar: σ = √0.75 ≈ 0.866

Esto significa que, en promedio, los valores del número de caras obtenidos se desvían aproximadamente 0.866 unidades del valor esperado de 1.5.

Ejemplo (Berenson, 2006):

Por ejemplo, la tabla siguiente ofrece la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local.

El valor esperado o media:


La varianza y desviación estándar:



¿Por qué son importantes la varianza y la desviación estándar?

  • Comparación de distribuciones: Nos permiten comparar la dispersión de diferentes distribuciones de probabilidad.
  • Control de calidad: En procesos industriales, se utiliza la desviación estándar para evaluar la calidad de los productos.
  • Inferencia estadística: Son fundamentales en muchos procedimientos de inferencia estadística.


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