Valor esperado de una variable aleatoria discreta

¿Qué es el valor esperado?

Podemos considerarlo como el promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria, donde los pesos son las probabilidades correspondientes a cada valor. Es decir, es una especie de "centro de gravedad" de la distribución de probabilidad.

(Berenson, 2006) Considera:

    "La media µ de una distribución de probabilidad es el valor esperado de su variable aleatoria. Para calcular el valor esperado, se multiplica cada resultado posible X por su probabilidad correspondiente P(X) y luego se suman estos productos."


Fórmula:

Si tenemos una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores x₁, x₂, x₃, ..., con probabilidades respectivas p₁, p₂, p₃, ..., entonces el valor esperado de X, denotado por E(X), se calcula como:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + ... = Σ(xᵢ * pᵢ)

donde la sumatoria se extiende a todos los posibles valores de X.

Berenson, 2006


Interpretación:

  • Centro de masa: Imagina que tienes una barra donde en cada punto xᵢ se coloca una masa igual a pᵢ. El valor esperado sería el punto donde la barra se equilibraría.
  • Promedio a largo plazo: Si realizamos el experimento un gran número de veces y promediamos los resultados obtenidos, este promedio se acercará al valor esperado.

Ejemplo:

Consideremos nuevamente el ejemplo del lanzamiento de tres monedas. La variable aleatoria X representa el número de caras obtenidas.

X (número de caras)P(X)X*P(X)
01/80
13/83/8
23/86/8
31/83/8

El valor esperado sería E(X) = 0 + 3/8 + 6/8 + 3/8 = 12/8 = 1.5.

Esto significa que, en promedio, esperamos obtener 1.5 caras al lanzar tres monedas.

Otro ejemplo (Berenson, 2006).

Por ejemplo, la tabla siguiente ofrece la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local. La lista de la tabla es colectivamente exhaustiva porque se han incluido todos los posibles resultados.


En la siguiente tabla se estima el valor esperado.


Así 2.8 es el valor esperado de número de hipotecas aprobadas por semana.



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