Distribución de Poisson

La Distribución de Poisson: Un Modelo para Eventos Raros

¿Cuándo utilizamos la distribución de Poisson?

Imagina que estás estudiando el número de llamadas que recibe un centro de atención al cliente en una hora. O quizás te interesa saber cuántas veces se descompone una máquina en un día. Estos son ejemplos de eventos que ocurren de manera aleatoria en un intervalo de tiempo o espacio, y cuya probabilidad de ocurrencia es relativamente baja.

La distribución de Poisson es la herramienta ideal para modelar este tipo de situaciones. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurran un número específico de eventos en un intervalo dado, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones:

  • Los eventos deben ser independientes: La ocurrencia de un evento no debe afectar la probabilidad de que ocurra otro.
  • La tasa promedio de ocurrencia debe ser constante: El número promedio de eventos en cualquier subintervalo debe ser proporcional a la longitud del intervalo.
  • La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo infinitesimalmente pequeño es despreciable.

La Fórmula de Poisson

La probabilidad de que ocurran exactamente k eventos en un intervalo, dada una tasa promedio de λ eventos por intervalo, se calcula utilizando la siguiente fórmula:

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!


Donde:

  • P(X = k): Probabilidad de que ocurran exactamente k eventos.
  • e: Constante de Euler (aproximadamente 2.71828).
  • λ: Tasa promedio de ocurrencias en el intervalo.
  • k: Número de eventos.
  • k!: Factorial de k (k * (k-1) * (k-2) * ... * 1).

Propiedades de la Distribución de Poisson

  • Esperanza (media): E(X) = λ
  • Varianza: Var(X) = λ

Es decir, tanto la media como la varianza de una distribución de Poisson son iguales a la tasa promedio de ocurrencias.

Ejemplo:

Supongamos que en una biblioteca universitaria, el número promedio de libros que se extravían por semana es de 3. Queremos calcular la probabilidad de que en una semana determinada se extravíen exactamente 5 libros.

Solución:

  1. Identificar los datos:

    • λ (tasa promedio) = 3 libros/semana
    • k (número de eventos) = 5 libros

  2. Aplicar la fórmula de Poisson: P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k! P(X = 5) = (e^-3 * 3^5) / 5!

    • Calculando cada término:

      • e^-3 ≈ 0.0498
      • 3^5 = 243
      • 5! = 120

    • Sustituyendo en la fórmula: P(X = 5) ≈ (0.0498 * 243) / 120 ≈ 0.1008

Resultado:

La probabilidad de que se extravíen exactamente 5 libros en una semana es aproximadamente del 10.08%.

Interpretación:

Esto significa que, en promedio, en una de cada 10 semanas se extravían exactamente 5 libros en esta biblioteca.

Otro ejemplo (más complejo):

¿Cuál es la probabilidad de que se extravíen menos de 3 libros en una semana?

Para resolver este problema, debemos calcular las probabilidades individuales para 0, 1 y 2 libros, y luego sumarlas:

  • P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Utilizando la fórmula de Poisson para cada valor de k y sumando los resultados, obtendríamos la probabilidad total.


Ejercicio.

suponga que la media de clientes que llega al banco por minuto durante la hora que va del mediodía a la 1 PM es igual a 3.0. 

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente dos clientes durante un minuto dado? 
  2. ¿Y cuál es la probabilidad de que lleguen más de tres clientes durante un minuto dado?

Resumen.

La distribución de Poisson es una herramienta muy útil para modelar eventos aleatorios que ocurren de manera independiente en un intervalo de tiempo o espacio. ¡Practica con diferentes ejercicios para afianzar tus conocimientos!


Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Función de distribución acumulada (FDA)

La función de distribución acumulada (FDA) es una herramienta fundamental en probabilidad y estadística que nos permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un determinado valor. ¿Qué es la FDA? La FDA, también conocida como función de distribución acumulada, es una función que asigna a cada valor posible de una variable aleatoria X la probabilidad de que X sea menor o igual a ese valor. Se denota por F(x) y se define como: F(x) = P(X ≤ x) Es decir, F(x) nos indica la probabilidad acumulada de todos los valores de X que son menores o iguales a x. ¿Para qué sirve la FDA? Cálculo de probabilidades: Nos permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria se encuentre dentro de un intervalo. Por ejemplo, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a). Comparación de distribuciones: Permite comparar diferentes distribuciones de probabilidad. Generación de números aleatorios: Se utiliza en simulación para generar números aleatorios que sigan una ...
Leer más

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Imagen
Varianza y Desviación Estándar: Medidas de Dispersión Si el valor esperado nos indica el centro de una distribución de probabilidad, la varianza y la desviación estándar nos ayudan a entender qué tan dispersos están los datos alrededor de ese centro. Es decir, nos dan una idea de cuán variables o diferentes son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria. Varianza (Var(X)) La varianza es una medida de la dispersión de los valores de una variable aleatoria respecto a su media (valor esperado). Cuanto mayor sea la varianza, mayor será la dispersión de los datos. Fórmula: Si X es una variable aleatoria discreta con valores x₁, x₂, x₃, ..., y probabilidades respectivas p₁, p₂, p₃, ..., entonces la varianza de X se calcula como: Var(X) = E[(X - μ)²] = Σ(xᵢ - μ)² * pᵢ donde: μ es el valor esperado de X (E(X)) Σ representa la suma de todos los posibles valores de X Desviación Estándar (σ) La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se re...
Leer más

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

Imagen
¿Qué es el valor esperado? Podemos considerarlo como el promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria, donde los pesos son las probabilidades correspondientes a cada valor. Es decir, es una especie de "centro de gravedad" de la distribución de probabilidad. (Berenson, 2006) Considera:     " La media µ de una distribución de probabilidad es el valor esperado de su variable aleatoria. Para calcular el valor esperado, se multiplica cada resultado posible X por su probabilidad correspondiente P(X) y luego se suman estos productos." Fórmula: Si tenemos una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores x₁, x₂, x₃, ..., con probabilidades respectivas p₁, p₂, p₃, ..., entonces el valor esperado de X, denotado por E(X), se calcula como: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + ... = Σ(xᵢ * pᵢ) donde la sumatoria se extiende a todos los posibles valores de X. Berenson, 2006 Interpretación: Centro de masa: Imagina que tienes una barr...
Leer más