Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

Variables Aleatorias Unidimensionales: Un Acercamiento Intuitivo

Imagina que realizamos un experimento aleatorio, como lanzar un dado. El resultado de este experimento es incierto, pero sabemos que puede ser uno de un conjunto de posibles valores (del 1 al 6 en el caso del dado). A este conjunto de posibles valores lo llamamos espacio muestral.

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el caso del dado, podríamos definir una variable aleatoria X que tome el valor del número que aparece en la cara superior.

  • Unidimensional: Significa que la variable aleatoria solo toma un valor numérico, a diferencia de las variables aleatorias multidimensionales que pueden tomar varios valores simultáneamente.

Tipos de Variables Aleatorias Unidimensionales

Existen dos tipos principales:

  • Discretas: Toman un número finito o numerable de valores. Por ejemplo, el resultado de lanzar un dado, el número de llamadas que recibe un centro de atención al cliente en una hora, etc.
  • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Por ejemplo, la altura de una persona, el tiempo que tarda un tren en llegar a su destino, etc.

Características de las Variables Aleatorias

Para describir completamente una variable aleatoria, necesitamos conocer su:

  • Función de probabilidad: Para variables discretas, asigna una probabilidad a cada uno de los posibles valores.
  • Función de densidad: Para variables continuas, describe la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo.
  • Función de distribución: Indica la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a un cierto valor.

Ejemplos y Aplicaciones

  • Lanzamiento de una moneda: La variable aleatoria X puede tomar los valores 0 (si sale cruz) o 1 (si sale cara).
  • Tiempo de espera en una cola: La variable aleatoria T representa el tiempo que una persona espera para ser atendida.
  • Peso de un producto: La variable aleatoria W representa el peso de un producto seleccionado al azar de una línea de producción.

Las variables aleatorias unidimensionales son fundamentales en estadística y probabilidad, ya que nos permiten modelar fenómenos aleatorios y realizar inferencias sobre poblaciones a partir de muestras.

Eventos Equivalentes

Eventos equivalentes son aquellos que ocurren bajo las mismas condiciones y tienen la misma probabilidad de suceder. En otras palabras, si un evento ocurre, necesariamente el otro también debe ocurrir, y viceversa.

Ejemplo:

  • Lanzar una moneda: Los eventos "obtener cara" y "no obtener sello" son equivalentes, ya que si no obtienes sello, necesariamente debes haber obtenido cara.

¿Por qué son importantes?

  • Simplificación de cálculos: Al identificar eventos equivalentes, podemos simplificar el cálculo de probabilidades, ya que la probabilidad de ambos eventos es la misma.
  • Análisis de experimentos: Nos ayudan a entender mejor la estructura de un experimento aleatorio y a establecer relaciones entre diferentes eventos.

Clasificación de Variables Aleatorias

Las variables aleatorias se clasifican según el tipo de valores que pueden tomar y su distribución de probabilidad. Las principales clasificaciones son:

1. Según el tipo de valores:

  • Discretas: Toman un número finito o contable de valores. Por ejemplo, el número de caras al lanzar una moneda, el número de hijos en una familia.
  • Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Por ejemplo, la altura de una persona, el tiempo que tarda un tren en llegar a su destino.

2. Según su distribución de probabilidad:

  • Binomial: Modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes.
  • Poisson: Describe el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o espacio fijo.
  • Normal: Es una distribución continua en forma de campana, muy utilizada en estadística.
  • Uniforme: Todos los valores dentro de un intervalo tienen la misma probabilidad.
  • Exponencial: Describe el tiempo entre eventos sucesivos en un proceso de Poisson.
  • Y muchas otras más...

¿Qué implica la distribución de probabilidad? La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe la probabilidad de que la variable tome cada uno de sus posibles valores. Es decir, asigna una probabilidad a cada uno de los resultados posibles.

Ejemplo: Si lanzamos un dado, la variable aleatoria "número obtenido" es discreta y su distribución de probabilidad es uniforme, ya que cada número tiene la misma probabilidad de salir (1/6).

Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

BERENSON (2006)

Imagina que tenemos una variable aleatoria discreta, como el número de caras que obtenemos al lanzar tres monedas. Esta variable solo puede tomar un número finito de valores (en este caso, 0, 1, 2 o 3). La distribución de probabilidad nos dice qué tan probable es que la variable tome cada uno de esos valores.

En otras palabras, es una tabla o una fórmula que asigna a cada valor posible de la variable aleatoria una probabilidad específica.

¿Cómo se representa?

  • Tabla: La forma más sencilla es crear una tabla donde en una columna se listan los posibles valores de la variable y en otra, la probabilidad correspondiente.
  • Función: También se puede expresar mediante una función matemática que, dado un valor de la variable, nos devuelve su probabilidad.

Ejemplo:

Consideremos el experimento de lanzar tres monedas. La variable aleatoria X representa el número de caras obtenidas. La distribución de probabilidad de X sería:

X (número de caras)P(X)
01/8
13/8
23/8
31/8

En esta tabla, por ejemplo, la probabilidad de obtener exactamente 2 caras es de 3/8.

Otro ejemplo (Berenson, 2006).

Por ejemplo, la tabla siguiente ofrece la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local. La lista de la tabla es colectivamente exhaustiva porque se han incluido todos los posibles resultados. Entonces, las probabilidades deben sumar 1. En la figura aparece la representación gráfica de la tabla.



Propiedades de una Distribución de Probabilidad

  • No negatividad: La probabilidad de cualquier valor debe ser mayor o igual a cero.
  • Suma de probabilidades: La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1.

¿Por qué es importante?

  • Toma de decisiones: Nos permite evaluar la probabilidad de diferentes eventos y tomar decisiones basadas en esa información.
  • Modelado de fenómenos: Nos ayuda a construir modelos matemáticos de fenómenos aleatorios.
  • Inferencia estadística: Es fundamental para realizar inferencias sobre poblaciones a partir de muestras.

Otros temas:

  • Distribuciones de probabilidad: Binomial, Poisson, Normal, etc.
  • Esperanza matemática y varianza: Medidas de tendencia central y dispersión.
  • Teorema del límite central: Su importancia en la estadística inferencial.
  • Aplicaciones en diferentes campos: Finanzas, ingeniería, ciencias sociales, etc.

Bibliografía.

BERENSON, M. L. KREHBIEL, T. C. ; LEVINE, D. M. Estadística para administración. 4. ed. México D.F: Pearson Educación, 2006. 650 p. Disponible en: https://elibro.net/es/ereader/anahuacbiblio/108474?page=184. Consultado en: 20 Oct 2024


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