Teorema de Bayes

Teorema de Bayes: Actualizando creencias con nueva evidencia

El teorema de Bayes es una herramienta fundamental en la teoría de la probabilidad que nos permite actualizar nuestras creencias a medida que obtenemos nueva información. En otras palabras, nos ayuda a entender cómo la evidencia que recopilamos modifica la probabilidad de que algo sea cierto.

¿Qué dice el teorema de Bayes?

En su forma más simple, el teorema de Bayes establece que la probabilidad de un evento dado una evidencia específica es igual a la probabilidad de la evidencia dado el evento multiplicada por la probabilidad del evento, dividida por la probabilidad de la evidencia.

La Fórmula

Matemáticamente, el teorema de Bayes se expresa como:

P(B|A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A)

Donde:

  • P(A|B): Probabilidad de A dado B (probabilidad posterior). Es decir, la probabilidad de que ocurra el evento A sabiendo que ya ocurrió el evento B.
  • P(B|A): Probabilidad de B dado A (verosimilitud). Es la probabilidad de que ocurra B si A ya ocurrió.
  • P(A): Probabilidad previa de A. Es la probabilidad de que ocurra A antes de considerar cualquier nueva evidencia.
  • P(B): Probabilidad previa de B. Es la probabilidad de que ocurra B antes de considerar cualquier nueva evidencia.

¿Para qué sirve?

Sus aplicaciones son muy amplias y se encuentran en diversos campos:

  • Inteligencia artificial: Se utiliza en sistemas de clasificación, reconocimiento de patrones y aprendizaje automático.
  • Estadística: Es fundamental en el análisis bayesiano, que permite actualizar modelos a medida que se recopilan nuevos datos.
  • Medicina: Se emplea para diagnosticar enfermedades y evaluar la eficacia de tratamientos.
  • Finanzas: Se utiliza en la valoración de activos, gestión de riesgos y análisis de mercados.
  • Ciencias sociales: Se aplica en estudios de opinión pública, análisis de comportamiento y toma de decisiones.
En el siguiente video se ilustra un pequeño ejemplo.

¿Un ejemplo sencillo?

Imagina que quieres saber si va a llover mañana. Tu creencia inicial (probabilidad a priori) es del 30%. Luego, miras por la ventana y ves nubes oscuras (nueva evidencia). El teorema de Bayes te permite actualizar tu creencia inicial y calcular la nueva probabilidad de que llueva, teniendo en cuenta la evidencia de las nubes oscuras.

Ejemplo Práctico:

Imagina que en una ciudad, el 2% de la población tiene una enfermedad rara. Existe una prueba para detectar esta enfermedad, pero no es perfecta. La prueba tiene una sensibilidad del 98% (es decir, detecta el 98% de los casos positivos) y una especificidad del 95% (es decir, da negativo en el 95% de los casos negativos).

Si una persona se realiza la prueba y obtiene un resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?

Solución:

Sea pp el evento de prueba positiva y e el evento de estar infectado:

  • P(e) = 0.02. 
  • P(pp | e) = 0.98
  • P( pp' | e') =  0.95
Hacemos un diagrama de árbol.


Por teorema de Bayes:

P( e | pp) = [ P(pp | e) P(e) ] / P(pp)

P(pp) = (0.02)(0.98) + (0.98)(0.05) = 0.0686     Se toman todas las posibilidades de una prueba positiva.

P( pp | e ) = 0.98   Como e es un hecho, en el árbol que salga positivo dado que está infectado, es 0.98

P(e) = 0.02

Sustituimos en la formula:

P( e | pp) = [ 0.98 (0.02) ] / 0.0686 = 0.2857

En Resumen

El teorema de Bayes nos permite actualizar nuestras creencias iniciales (probabilidades previas) a la luz de nueva evidencia (verosimilitud). Es una herramienta poderosa con aplicaciones en diversas áreas, como la inteligencia artificial, la estadística, la medicina, las finanzas y las ciencias sociales.


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