La distribución T de Student

Imagina que estamos en un aula universitaria y estás frente a mí, listo para sumergirte en el fascinante mundo de la distribución t de Student.

La distribución t de Student: Tu aliada en la inferencia estadística

Seguro que has escuchado hablar de la distribución normal, esa curva en forma de campana que representa muchos fenómenos naturales. Sin embargo, ¿qué sucede cuando trabajamos con muestras pequeñas y no conocemos la desviación estándar de la población? Aquí es donde entra en juego nuestra querida distribución t.

¿Por qué necesitamos la distribución t?

Cuando el tamaño de muestra es pequeño, la estimación de la desviación estándar de la población puede ser inestable, lo que afecta la precisión de nuestros cálculos. La distribución t nos proporciona una forma más robusta de realizar inferencias estadísticas en estas situaciones.

Características clave de la distribución t:

  • Similitud con la normal: La distribución t es similar a la normal, pero con colas más "gordas". Esto significa que hay una mayor probabilidad de obtener valores extremos.
  • Grados de libertad: La forma exacta de la distribución t depende de los grados de libertad, que se calculan como n-1, donde n es el tamaño de la muestra. A medida que los grados de libertad aumentan, la distribución t se acerca a la normal.
  • Aplicación: Se utiliza principalmente para:
    • Construir intervalos de confianza: Nos permite estimar un rango de valores en el que se encuentra la verdadera media poblacional con un cierto nivel de confianza.
    • Realizar pruebas de hipótesis: Nos ayuda a decidir si aceptar o rechazar una hipótesis nula sobre la media poblacional.

¿Cómo funciona la distribución t en la práctica?

Imagina que quieres saber si la altura promedio de los estudiantes de una universidad es diferente a la altura promedio de la población general. Si tienes una muestra pequeña, utilizarías la distribución t para realizar una prueba de hipótesis.

  1. Calcular el estadístico t: Este valor mide cuán lejos está la media de tu muestra de la media hipotética de la población, en términos de la desviación estándar estimada.
  2. Determinar los grados de libertad: Utilizando el tamaño de tu muestra, calculas los grados de libertad.
  3. Consultar la tabla t: Con los grados de libertad y un nivel de significancia elegido, buscas el valor crítico en la tabla de distribución t.
  4. Comparar y tomar una decisión: Si el valor absoluto del estadístico t es mayor que el valor crítico, rechazas la hipótesis nula y concluyes que hay una diferencia significativa.

Ejemplo:


Formulas:

Grados de libertad: n-1
Valor t:
Error estándar:



Pruebas de una cola.
Hasta ahora, la metodología de prueba de hipótesis se ha utilizado para examinar la interrogante sobre si la cantidad media poblacional de cereal envasado es o no de 368 gramos. La hipótesis alternativa (H1: µ ≠ 368) abarca dos posibilidades: que la media sea menor que 368 gramos, o que la media sea mayor que 368 gramos. Por ello, la región de rechazo se divide en las dos colas de la distribución muestral de la media. Sin embargo, en muchos casos la hipótesis alternativa se orienta en una dirección en particular.

Cuando la Ho: µ ≥ x , entonces H1 : µ < x, en este caso las áreas de aceptación y de rechazo se ilustran en la siguiente figura:


Cuando la Ho: µ ≤ x , por tanto, H1 : µ > x, en este caso las áreas de aceptación y de rechazo se ilustran en la siguiente figura:




En resumen:

La distribución t de Student es una herramienta esencial en la caja de herramientas del estadístico. Nos permite realizar inferencias sólidas cuando trabajamos con muestras pequeñas y desviación estándar poblacional desconocida. Al comprender sus características y aplicaciones, podrás tomar decisiones más informadas basadas en tus datos.


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